Como eu encontro o integral int (x * cos (5x)) dx?

Vamos ter em mente a fórmula para integração por partes, que é:

#int u dv = uv - int v du #

Para encontrar esta integral com sucesso, vamos deixar #u = x #e #dv = cos 5x dx #. Assim sendo, #du = dx # e #v = 1/5 sin 5x #. (# v # pode ser encontrado usando um #você#-substituição)

A razão pela qual eu escolhi # x # para o valor de #você# é porque eu sei que mais tarde eu vou acabar integrando # v # multiplicado por #você#derivado. Desde a derivada de #você# é apenas #1#e como integrar uma função trigonométrica por si só não a torna mais complexa, removemos efetivamente # x # do integrando e só tem que se preocupar com o seno agora.

Então, conectando-se à fórmula do IBP, obtemos:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Puxando o #1/5# fora do integrando nos dá:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integrar o seno só levará um #você#-substituição. Desde que já usamos #você# para a fórmula do IBP vou usar a letra # q # em vez de:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Para obter um # 5 dx # dentro do integrando vou multiplicar a integral por outra #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

E, substituindo tudo em termos de # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Sabemos que a integral de #pecado# é #coscos #, para que possamos finalizar essa parte integral facilmente. Lembre-se da constante de integração:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Agora vamos simplesmente substituir de volta # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + c #

E existe a nossa integral.

Mostre que cos² / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Estou um pouco confuso se eu fizer Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ele vai se tornar negativo como cos (180 ° -teta) = - costheta em o segundo quadrante. Como faço para provar a questão?

Por favor veja abaixo. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sen ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Como eu encontro o integral int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Processo: int x e ^ (- x) dx =? Esta integral exigirá integração por partes. Tenha em mente a fórmula: int u dv = uv - intv du Vamos deixar u = x e dv = e ^ (- x) dx. Portanto, du = dx. Encontrar v requererá uma substituição em u; Vou usar a letra q ao invés de u já que já estamos usando u na integração por fórmula de partes. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. assim, dq = -dx Reescreveremos a integral, adicionando dois negativos para acomodar dq: v = -int -e ^ (- x) dx Escrito em termos de q: v = -int e ^ (q) dq P

Como eu encontro o integral int (x * ln (x)) dx?

Vamos usar integração por partes. Lembre-se da fórmula do IBP, que é: u uv = uv - int v Deixa em u = ln x e dv = x dx. Escolhemos esses valores porque sabemos que a derivada de ln x é igual a 1 / x, o que significa que, em vez de integrar algo complexo (um logaritmo natural), agora acabaremos integrando algo muito fácil. (um polinômio) Assim, du = 1 / x dx e v = x ^ 2 / 2. Conectar-se à fórmula do IBP nos dá: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx Um x irá cancelar a partir do novo integrando: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx A soluç