Qual é a forma padrão da equação de um círculo com centro (-3,3) e tangente à linha y = 1?

Responda:

A equação do círculo é # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 # e # y = 1 # é tangente em #(-3,1)#

Explicação:

A equação de um círculo com centro #(-3,3)# com raio # r # é

# (x + 3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 #

ou # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-r ^ 2 = 0 #

Como # y = 1 # é uma tangente a este círculo, colocando # y = 1 # na equação de um círculo deve dar apenas uma solução para # x #. Fazendo isso, conseguimos

# x ^ 2 + 1 + 6x-6 + 9 + 9-r ^ 2 = 0 # ou

# x ^ 2 + 6x + 13-r ^ 2 = 0 #

e como deveríamos ter apenas uma solução, o discriminante dessa equação quadrática deveria ser #0#.

Conseqüentemente, # 6 ^ 2-4xx1xx (13-r ^ 2) = 0 # ou

# 36-52 + 4r ^ 2 = 0 # ou # 4r ^ 2 = 16 # e como # r # tem que ser positivo

# r = 2 # e, portanto, a equação do círculo é

# x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-4 = 0 # ou # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 #

e # y = 1 # é tangente em #(-3,1)#