Quais das seguintes afirmações são verdadeiras / falsas? Justifique sua resposta. (i) R² tem infinitos subespaços vetoriais diferentes de zero, (ii) Todo sistema de equações lineares homogêneas tem uma solução diferente de zero.

Responda:

# #

# "(i) Verdadeiro" #

# "(ii) Falso." #

Explicação:

# #

# "Provas". #

# "(i) Podemos construir um conjunto de subespaços:" #

# "1)" para todos os r em RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) em RR ^ 2. #

# "Geometricamente," V_r "é a linha de origem de" RR ^ 2, "de inclinação" r. #

# "2) Verificamos que esses subespaços justificam a afirmação (i)." #

# "3) Claramente:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Verifique se:" qquad qquad V_r "é um subespaço apropriado de" RR ^ 2. #

# "Deixar:" qquad u, v em V_r, alpha, beta em RR. qquad qquad qquad quad "Verifique se:" quad alpha u beta v em V_r. #

# u, v em V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "para alguns" x_1, x_2 em RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) em V_r; qquad "com" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Então:" qquad qquad qquadu, v em V_r, alpha, beta em RR quad rArr quad alpha u beta v em V_r. #

# "Assim:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "é um subespaço de" RR ^ 2. #

# "Para ver que" V_r "é diferente de zero, observe que:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) em V_r, "e" (1, r) ne (0, 0). #

# "Para ver que" V_r "é apropriado," "note que" (1, r + 1)! Em V_r: #

# (1, r + 1) em V_r rArr "(por construção de" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "claramente impossível". #

# "Assim:" qquad qquad qquad V_r "é um subespaço adequado, diferente de zero, de RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Agora mostre que existem infinitamente muitos desses subespaços" V_r. #

# "Deixar:" qquad qquad r, s em RR. qquad qquad qquad quad "Mostraremos:" qquad r ne rArr V_r ne V_s. #

# "Por definição:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) em V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) em V_s. #

# "Claramente:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Assim:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "So each" r in RR "produz um subespaço distinto" V_r. #

# "Isso, junto com (1), dá:" #

# "A família de subespaços:" r em RR, "é uma família infinita" #

# "de subespaços não nulos e adequados de" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Isso é realmente fácil. Se o sistema é quadrado, e o" #

# "matriz coeficiente do sistema em invertível, só haverá" #

# "a solução zero". #

# "Suponha que:" qquad qquad quad A "é uma matriz quadrada e invertível." #

# "Considere o sistema homogêneo:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qqq A x = 0. #

# "Assim, como" A "é invertível:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad = 0. #

# "Assim, o sistema homogêneo" A x = 0, "não tem um" #

# "solução diferente de zero". qquadqquadqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

O discriminante de uma equação quadrática é -5. Qual resposta descreve o número e o tipo de soluções da equação: 1 solução complexa 2 soluções reais 2 soluções complexas 1 solução real?

Sua equação quadrática tem 2 soluções complexas. O discriminante de uma equação quadrática só pode nos dar informações sobre uma equação da forma: y = ax ^ 2 + bx + c ou uma parábola. Como o maior grau desse polinômio é 2, ele não deve ter mais de 2 soluções. O discriminante é simplesmente o material sob o símbolo da raiz quadrada (+ -sqrt ("")), mas não o próprio símbolo da raiz quadrada. + -sqrt (b ^ 2-4ac) Se o discriminante, b ^ 2-4ac, for menor que zero (ou seja, qualquer número negati

Quais das seguintes opções são operações binárias em S = {x Rx> 0}? Justifique sua resposta. (i) As operações são definidas por x y = ln (xy) onde lnx é um logaritmo natural. (ii) As operações são definidas por x y = x ^ 2 + y ^ 3.

Ambos são operações binárias. Veja explicação. Uma operação (um operando) é binária se requer dois argumentos para serem calculados. Aqui ambas as operações requerem 2 argumentos (marcados como x e y), portanto são operações binárias.

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras / falsas? Dê motivos para suas respostas. 1. Se σ é uma permutação par, então σ ^ 2 = 1.

Falsa Uma permutação uniforme pode ser decomposta em um número par de transposições. Por exemplo ((2, 3)) seguido por ((1, 2)) é equivalente a ((1, 2, 3)) Então, se sigma = ((1, 2, 3)), então sigma ^ 3 = 1, mas sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1