Qual é o lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) quando x se aproxima de 1 do lado direito?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

gráfico {x ^ (1 / (1-x)) -2,064, 4,095, -1,338, 1,74}

Bem, isso seria muito mais fácil se simplesmente pegássemos # ln # de ambos os lados. Desde a # x ^ (1 / (1-x)) # é contínuo no intervalo aberto à direita de #1#, Nós podemos dizer que:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Desde a #ln (1) = 0 # e #(1 - 1) = 0#, isso é da forma #0/0# e a regra de L'Hopital se aplica:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

E claro, # 1 / x # é contínuo de cada lado do #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Como resultado, o limite original é:

#color (azul) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = e ^ (- 1) #

# = cor (azul) (1 / e) #