Se um projétil é projetado em ângulo teta de horizontal e apenas passou tocando a ponta de duas paredes de altura a, separados por uma distância 2a, então mostre que a amplitude de seu movimento será de 2a berço (teta / 2)?

Aqui a situação é mostrada abaixo,

Então, vamos depois do tempo # t # do seu movimento, atingirá a altura #uma#, então, considerando o movimento vertical, nós podemos dizer, # a = (u sin teta) t -1/2 g t ^ 2 # (#você# é a velocidade de projeção do projétil)

Resolvendo isso, # t = (2u sen teta _- ^ + sqrt (4u ^ 2 sen ^ 2 teta -8ga)) / (2g) #

Então, um valor (menor) de # t = t # (let) está sugerindo o tempo para alcançar #uma# enquanto subindo e o outro (maior) # t = t '# (deixa) enquanto desce.

Então, podemos dizer neste intervalo de tempo o projectilw distância percorrida horizontalmente # 2a #, Então, podemos escrever # 2a = u cos teta (t'-t) #

Colocando os valores e organizando, nós conseguimos

# u ^ 4 sin ^ 2 2theta -8gau ^ 2 cos ^ 2 theta-4a ^ 2g ^ 2 = 0 #

Resolvendo para # u ^ 2 #,Nós temos, # u ^ 2 = (8gacos ^ 2 theta _- ^ + sqrt (64g ^ 2a ^ 2 cos ^ 4 theta + 16a ^ 2g ^ 2sin ^ 2 2theta)) / (2 sin ^ 2 2teta) #

Colocando de volta #sin 2theta = 2 sin theta cos theta # Nós temos, # u ^ 2 = (8gacos ^ 2 theta _- ^ + sqrt (64g ^ 2a ^ 2 cos ^ 4 theta + 64a ^ 2g ^ 2sin ^ 2 theta cos ^ 2 theta)) / (2 sin ^ 2 2teta) #

ou, # u ^ 2 = (8ga cos ^ 2 theta + sqrt (64g ^ 2a ^ 2cos ^ 2theta (cos ^ 2 theta + sin ^ 2teta))) / (2sin ^ 2 2eta) = (8gacos ^ 2theta + 8ag cos teta) / (2 sin ^ 2 2theta) = (8agcostheta (cos theta + 1)) / (2 sin ^ 2 2theta) #

agora, a fórmula para o alcance do movimento do projétil é # R = (u ^ 2 sin 2 theta) / g #

Então, multiplicando o valor obtido de # u ^ 2 # com # (sin2 theta) / g #,Nós temos, # R = (2a (cos teta + 1)) / sin teta = (2a * 2 cos ^ 2 (teta / 2)) / (2 sen (teta / 2) cos (teta / 2)) = 2a cot (teta / 2) #