Suponha que você lance um projétil com uma velocidade alta o suficiente para atingir um alvo à distância. Considerando que a velocidade é de 34 m / se a distância do alcance é de 73 m, quais são os dois ângulos possíveis para o lançamento do projétil?

Responda:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Explicação:

O movimento é um movimento parabólico, que é a composição de dois movimentos:

o primeiro, horizontal, é um movimento uniforme com a lei:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

e o segundo é um movimento desacelerado com a lei:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

Onde:

• # (x, y) # é a posição no momento # t #;
• # (x_0, y_0) # é a posição inicial;
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # são os componentes da velocidade inicial, isto é, para as leis de trigonometria:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (#alfa# é o ângulo que a velocidade do vetor se forma com a horizontal);

• # t # é hora;
• # g # é a aceleração da gravidade.

Para obter a equação do movimento, uma parábola, temos que resolver o sistema entre as duas equações escritas acima.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Vamos encontrar # t # da primeira equação e vamos substituir no segundo:

# t = (x-x_0) / v_ (0x) #

# y = y_0 + v_ (0y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # ou:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) # ou

# y = y_0 + sinalpha (x-x_0) / cosalfa-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) #

Para encontrar o intervalo, podemos supor:

# (x_0, y_0) # é a origem #(0,0)#, e o ponto em que ela cai tem coordenadas: # (0, x) # (# x # é o intervalo!), então:

# 0 = 0 + sinalpha * (x-0) / cosalfa-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) rArr #

# x * sinalpha / cosalfa-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalfa-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) x) = 0 #

# x = 0 # é uma solução (o ponto inicial!)

# x = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(usando a fórmula de duplo ângulo do seio).

Agora nós temos o certo fórmula para responder à pergunta:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9,8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

e (o seio tem soluções suplementares):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.