Qual é a área delimitada por 2x + 3y <= 6?

Responda:

#A = 12 #

Explicação:

O valor absoluto é dado por

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Como tal, haverá quatro casos a considerar aqui. A área delimitada por # 2 | x | +3 | y | <= 6 # vai ser a área delimitada pelos quatro casos diferentes. Estes são, respectivamente:

#diamond x> 0 e y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

A parte da área que procuramos será a área definida pelo gráfico

#y = 2-2 / 3x #

e os eixos:

Já que este é um triângulo retângulo com vértices #(0,2)#, #(3,0)# e #(0,0)#, suas pernas terão comprimentos #2# e #3# e sua área será:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

O segundo caso vai ser

#diamond x <0 e y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Mais uma vez, a área necessária será definida pelo gráfico # y = 2 + 2 / 3x # e os eixos:

Este tem vértices #(0,2)#, #(-3,0)# e #(0,0)#, mais uma vez tendo pernas de comprimento #2# e #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Existe claramente algum tipo de simetria aqui. Analogamente, resolver para as quatro áreas produzirá o mesmo resultado; todos os triângulos têm área #3#. Como tal, a área delimitada por

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Como visto acima, a forma descrita por # 2 | x | +3 | y | <= 6 # é um losango.