Ao fazer multiplicadores langrage para o cálculo 3 ... digamos que eu já encontrei meus pontos críticos e eu tenho um valor a partir dele. Como sei se é um valor mínimo ou máximo?

Responda:

Uma maneira possível é o Hessian (2º Teste Derivativo)

Explicação:

Normalmente, para verificar se os pontos críticos são minutos ou máximos, você frequentemente usará o Segundo Teste Derivativo, que requer que você encontre 4 derivadas parciais, supondo #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #e #f _ {"yy"} (x, y) #

Note que se ambos #f _ {"xy"} # e #f _ {"yx"} # são contínuos em uma região de interesse, eles serão iguais.

Uma vez que você tenha esses 4 definidos, você pode então usar uma matriz especial chamada de Hessian para encontrar o determinante dessa matriz (que, confusamente, é também referida como Hessian também), que lhe dará algumas informações sobre a natureza do ponto. Assim, defina a Matriz Hessiana como:

#H = | (f_ {"xx"} cor (branco) (aa) f_ {xy}), (f_ {yx} cor (branco) (aa) f_ {yy}) | #

Uma vez que você tenha estabelecido essa matriz (e será uma matriz de "função", já que os conteúdos serão funções de x e y), você pode então pegar um de seus pontos críticos e avaliar o determinante da matriz como um todo. Nomeadamente:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"aa"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Dependendo dos resultados desse cálculo, você pode aprender a natureza do ponto crítico:

E se #H> 0 #, há um min / max nesse ponto. Verifique o sinal de #f _ {"xx"} #. Se for positivo, o ponto é um min. Se for negativo, o ponto é um max. (Isso é análogo ao teste da segunda derivada "tradicional" para funções de variável única de x.)

E se #H <0 #Há um ponto de sela nesse ponto.

E se #H = 0 #, o teste é inconclusivo e você deve confiar em outros meios, como um gráfico da função para determinar visualmente.