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Explicação:
É fácil ver isso
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Por isso temos que # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 ou x = -3 #
Esteja ciente de que as raízes # x_1 = 3, x_2 = -3 # tem multiplicidade de #2#
porque temos um polinômio de quarto grau.
Responda:
#x = + -3 #
Explicação:
Normalmente, para resolver um polinômio de grau 4 como esse aqui, você precisa fazer uma divisão sintética e usar muitos teoremas e regras - isso fica um pouco confuso. No entanto, este é especial porque podemos realmente torná-lo uma equação quadrática.
Nós fazemos isso deixando #u = x ^ 2 #. Não se preocupe com onde #você# veio de; é apenas algo que estamos usando para simplificar o problema. Com #u = x ^ 2 #, o problema se torna
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Isso não parece melhor? Agora estamos lidando com uma equação quadrática agradável e fácil. Na verdade, esse é um quadrado perfeito; em outras palavras, quando você considera isso, você obtém # (u-9) ^ 2 #. É claro que poderíamos usar a fórmula quadrática ou completar o quadrado para resolver essa equação, mas você geralmente não tem sorte suficiente para ter uma quadrática quadrada perfeita - então aproveite. Neste ponto, temos:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Para resolver, pegamos a raiz quadrada de ambos os lados:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
E isso simplifica para
# u-9 = 0 #
Finalmente, adicionamos 9 a ambos os lados para obter
#u = 9 #
Impressionante! Quase lá. No entanto, nosso problema original # x #s nele e nossa resposta tem um #você# nisso. Precisamos converter #u = 9 # para dentro #x = # alguma coisa. Mas não tenha medo! Lembre-se no início nós dissemos vamos #u = x ^ 2 #? Bem, agora que temos nossa #você#, apenas ligamos de volta para encontrar nossos # x #. Assim, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (Porque #(-3)^2 = 9# e #(3)^2 = 9#)
Portanto, nossas soluções são #x = 3 # e #x = -3 #. Observe que #x = 3 # e #x = -3 # são raízes duplas, então, tecnicamente, todas as raízes são #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
