Um acorde com um comprimento de 12 vai de pi / 12 a pi / 6 radianos em um círculo. Qual é a área do círculo?

Responda:

Área de um círculo é

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Explicação:

A foto acima reflete as condições definidas no problema. Todos os ângulos (ampliados para melhor compreensão) estão em radianos contados a partir do eixo X horizontal #BOI# sentido anti-horário.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Temos que encontrar um raio de um círculo para determinar sua área.

Nós sabemos que o acorde # AB # tem comprimento #12# e um ângulo entre raios # OA # e # OB # (Onde # O # é um centro de um círculo) é

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Construa uma altitude # OH # de um triângulo #Delta AOB # do vértice # O # para o lado # AB #. Desde a #Delta AOB # é isósceles, # OH # é uma mediana e uma bissetriz angular:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Considere um triângulo retângulo #Delta AOH #.

Nós sabemos que o cateto # AH = 6 # e ângulo # / _ AOH = pi / 24 #.

Portanto, hipotenusa # OA #, que é um raio do nosso círculo # r #, igual a

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Sabendo raio, podemos encontrar uma área:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Vamos expressar isso sem funções trigonométricas.

Desde a

# sin ^ 2 (phi) = (1 cos (2phi)) / 2 #

podemos expressar a área da seguinte forma:

#S = (72pi) / (1 cos (pi / 12)) #

Outra identidade trigonométrica:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Assim sendo,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Agora podemos representar a área de um círculo como

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Responda:

Outra abordagem mesmo resultado

Explicação:

A corda AB de comprimento 12 na figura acima vai de# pi / 12 # para # pi / 6 # no círculo de raio r e o centro O, tomado como origem.

# / _ AOX = pi / 12 # e # / _ BOX = pi / 6 #

Então coordenada polar de A # = (r, pi / 12) # e aquele de B # = (r, pi / 6) #

Aplicando fórmula de distância para coordenada polar

o comprimento do acorde AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1 cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1 cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1 cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Então área do círculo

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #