Existe algum ponto (x, y) na curva y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, no qual a tangente é paralela ao eixo x?

Responda:

Não existe tal ponto, no que diz respeito à minha matemática.

Explicação:

Primeiro, vamos considerar as condições da tangente se ela for paralela à # x #-eixo. Desde o # x #O eixo é horizontal, qualquer linha paralela a ele também deve ser horizontal; segue-se que a linha tangente é horizontal. E, claro, tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é igual #0#.

Portanto, devemos primeiro começar encontrando a derivada dessa equação monstruosa, que pode ser realizada por meio da diferenciação implícita:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Usando a regra da soma, a regra da cadeia, a regra do produto, a regra do quociente e a álgebra, temos:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / s + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Uau … isso foi intenso. Agora nós definimos a derivada igual a #0# e veja o que acontece.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Interessante. Agora vamos ligar # y = -1 # e ver o que temos para # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Como isso é uma contradição, concluímos que não há pontos que atendam a essa condição.

Responda:

Não existe tal tangente.

Explicação:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Agora chamando #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # temos

#df = f_x dx + f_y dy = (parcial u) / (parcial x) dx + (parcial v) / (parcial y) dy = 0 # então

# dy / dx = - ((parcial u) / (parcial x)) / ((parcial v) / (parcial y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Nós vemos que # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # mas esses valores devem verificar:

#f (x, y_0) = 0 # e

#f (x_0, y) = 0 #

No primeiro caso, # y_0 = 1 # temos

# x ^ x = -1 # que não é atingível no domínio real.

No segundo caso, # x_0 = e ^ {- 1} # temos

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # ou

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

mas

# y / (y + 1) log_e y> -1 # então não há solução real também.

Concluindo, não há tal tangente.

Responda:

A resposta do Dr. Cawa K, x = 1 / e, é precisa.

Explicação:

Eu havia proposto essa questão para obter esse valor com precisão. Graças a

Dr, Cawas para uma resposta decisiva que aprova a revelação de que

a precisão dupla y 'permanece 0 em torno desse intervalo. y é

contínuo e diferenciável em x = 1 / e. Tanto o duplo 17-sd

precisão y e y 'são 0, neste intervalo em torno de x = 1 / e, foi um

conjectura que o eixo x toca o gráfico entre eles. E agora é

provado. Eu acho que o toque é transcendental..