Se o raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 cm por segundo, quão rápido o volume aumenta quando o diâmetro é de 80 cm?

Responda:

12.800cm3s

Explicação:

Este é um clássico problemas de taxas relacionadas. A idéia por trás das Taxas Relacionadas é que você tem um modelo geométrico que não muda, mesmo quando os números mudam.

Por exemplo, essa forma permanecerá como uma esfera, mesmo quando muda de tamanho. A relação entre o volume de um onde e seu raio é

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Enquanto isso relação geométrica não muda à medida que a esfera cresce, então podemos derivar essa relação implicitamente e encontrar uma nova relação entre as taxas de mudança.

A diferenciação implícita é onde derivamos todas as variáveis na fórmula e, nesse caso, derivamos a fórmula com relação ao tempo.

Então, pegamos a derivada da nossa esfera:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Nós fomos realmente dadas # (dr) / (dt) #. Está # 4 (cm) / s #.

Estamos interessados no momento em que o diâmetro é de 80 cm, que é quando o raio será de 40 cm.

A taxa de aumento do volume é # (dV) / (dt) #, que é o que estamos procurando, então:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12.800 (cm ^ 3) / s #

E as unidades funcionam corretamente, já que devemos dividir o volume pelo tempo.

Espero que isto ajude.