Como você encontra as assíntotas para y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Responda:

Vertical

# x = 1 #

# x = 3 #

Horizontal

# x = 1 # (para ambos # + - oo #)

Oblíquo

Não existe

Explicação:

Deixei # y = f (x) #

• Assíntotas verticais

Encontre os limites da função à medida que ela tende aos limites de seu domínio, exceto infinito. Se o resultado for infinito, então # x # line é uma assíntota. Aqui, o domínio é:

#x em (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Então os 4 possível assíntotas verticais são:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Assíntota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Assíntota vertical para # x = 1 #

Nota: para # x-1 # Desde a # x # é um pouco menor que 1, o resultado será algo um pouco menor que 0, então o sinal será negativo, daí a nota #0^-# que depois se traduz em um sinal negativo.

Confirmação para assíntota # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Confirmado

Assíntota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Assíntota vertical para # x = 3 #

Confirmação para assíntota # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Confirmado

• Assíntotas horizontais

Encontre os dois limites conforme a função tende a # + - oo #

Menos infinito #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x - 1) (x - 3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (cancelar (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancelar (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Assíntota horizontal para # y = 1 #

Mais infinito #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (cancelar (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancelar (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Assíntota horizontal para # y = 1 #

Nota: acontece que esta função tem uma horizontal comum para ambos #ooo e # + oo #. Você deve sempre verificar ambos.

• Assíntotas oblíquas

Você deve primeiro encontrar os dois limites:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Para cada um, se este limite é um número real, então a assíntota existe e o limite é a sua inclinação. o # y # interceptação de cada um é o limite:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

No entanto, para nos poupar o problema, você pode usar alguma função "conhecimento" para evitar isso. Desde que sabemos #f (x) # tem assíntota horizontal para ambos # + - oo # a única maneira de ter um oblíquo é ter outra linha como #x -> + - oo #. Contudo, #f (x) # é um #1-1# função então não pode haver dois # y # valores para um # x #Portanto, uma segunda linha é impossível, então é impossível ter assíntotas oblíquas.