Responda:
O vértice de # y # é o ponto #(-1.25, 26.875)#
Explicação:
Para uma parábola na forma padrão: # y = ax ^ 2 + bx + c #
o vértice é o ponto onde #x = (- b) / (2a) #
NB: Este ponto será um máximo ou mínimo de # y # dependendo do sinal de #uma#
No nosso exemplo: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vértice" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Substituindo por # x # em # y #
#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
O vértice de # y # é o ponto #(-1.25, 26.875)#
Podemos ver este ponto como o mínimo de # y # no gráfico abaixo.
gráfico {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Para encontrar o vértice, a coisa mais fácil a fazer (além de representar graficamente o problema) é converter a equação em forma de vértice. Para fazer isso, devemos "completar o quadrado"
# y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
o coeficiente líder deve ser #1#, então fatorar o #2#
# y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Precisamos encontrar um valor que mude # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 # em um quadrado perfeito.
Para fazer isso, precisamos tomar o termo do meio, #5/2#e divida por #2#. Isso nos dá #5/4#.
Nosso próximo passo é alinhar o resultado: #(5/4)^2#ou #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Agora temos nosso valor ausente: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # ESPERAR Não podemos simplesmente adicionar algo a um problema! Mas, se adicionarmos algo e então subtraímos imediatamente, tecnicamente não mudamos a equação, pois eles subtraem a zero
Então, nosso problema é realmente # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Vamos reescrever isso: # x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # é um quadrado perfeito. Vamos reescrevê-lo dessa forma: # (x + 5/4) ^ 2 #
Agora vamos olhar nossa equação novamente: # (x + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Vamos combinar termos semelhantes: # (x + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Agora temos a equação na forma de vértices, e podemos encontrar o vértice com muita facilidade a partir daqui
# (x + cor (vermelho) (5/4)) ^ 2 + cor (amarelo) (71/16) #
# (- cor (vermelho) (x), cor (amarelo) (y)) #
# (- cor (vermelho) (5/4), cor (amarelo) (71/16)) #
Esse é o vértice.
Para conferir nosso trabalho, vamos mapear nossa equação e ver o vértice
gráfico {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Nós estávamos certos! #-1.25# e #4.4375# são equivalentes a #-25/16# e #71/16#
