Qual é a equação da linha que passa por (-1,1) e é perpendicular à linha que passa pelos seguintes pontos: (13, -1), (8,4)?

Responda:

Veja um processo de solução abaixo:

Explicação:

Em primeiro lugar, precisamos encontrar a inclinação dos dois pontos do problema. A inclinação pode ser encontrada usando a fórmula: #m = (cor (vermelho) (y_2) - cor (azul) (y_1)) / (cor (vermelho) (x_2) - cor (azul) (x_1)) #

Onde # m # é a inclinação e (#color (azul) (x_1, y_1) #) e (#color (vermelho) (x_2, y_2) #) são os dois pontos da linha.

Substituir os valores dos pontos no problema fornece:

#m = (cor (vermelho) (4) - cor (azul) (- 1)) / (cor (vermelho) (8) - cor (azul) (13)) = (cor (vermelho) (4) + cor (azul) (1)) / (cor (vermelho) (8) - cor (azul) (13)) = 5 / -5 = -1 #

Vamos chamar a inclinação para a linha perpendicular a esta # m_p #

A regra das inclinações perpendiculares é: #m_p = -1 / m #

Substituindo a inclinação que calculamos dá:

#m_p = (-1) / - 1 = 1 #

Agora podemos usar a fórmula de declive do ponto para escrever uma equação para a linha. A forma do ponto de inclinação de uma equação linear é: # (y - cor (azul) (y_1)) = cor (vermelho) (m) (x - cor (azul) (x_1)) #

Onde # (cor (azul) (x_1), cor (azul) (y_1)) # é um ponto na linha e #color (vermelho) (m) # é a inclinação.

Substituindo a inclinação que calculamos e os valores do ponto no problema dão:

# (y - cor (azul) (1)) = cor (vermelho) (1) (x - cor (azul) (- 1)) #

# (y - cor (azul) (1)) = cor (vermelho) (1) (x + cor (azul) (1)) #

Também podemos usar a fórmula de interceptação de inclinação. A forma inclinação-intercepto de uma equação linear é: #y = cor (vermelho) (m) x + cor (azul) (b) #

Onde #color (vermelho) (m) # é a inclinação e #color (azul) (b) # é o valor de interceptação de y.

Substituindo a inclinação que calculamos dá:

#y = cor (vermelho) (1) x + cor (azul) (b) #

Podemos agora substituir os valores do ponto no problema para # x # e # y # e resolver para #color (azul) (b) #

# 1 = (cor (vermelho) (1) xx -1) + cor (azul) (b) #

# 1 = -1 + cor (azul) (b) #

#color (vermelho) (1) + 1 = cor (vermelho) (1) - 1 + cor (azul) (b) #

# 2 = 0 + cor (azul) (b) #

# 2 = cor (azul) (b) #

Substituir isso na fórmula com a inclinação dá:

#y = cor (vermelho) (1) x + cor (azul) (2) #

Responda:

A equação da linha é # x - y = -2 #

Explicação:

A inclinação da linha que passa por # (13, -1) e (8,4) # é

# m_1 = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) = (4 + 1) / (8-13) = 5 / -5 = -1 #

O produto de encostas de duas linhas perpendiculares é # m * m_1 = -1 #

#:. m = -1 / m_1 = -1 / -1 = 1 #. Então a inclinação da linha passando

através #(-1,1)# é # m = 1 #.

A equação da linha passando por #(-1,1)# é

# y-y_1 = m (x-x_1) = y -1 = 1 (x + 1) = y-1 = x + 1 ou x-y = -2 #.

A equação da linha é # x - y = -2 # Ans