Por que as permutas são importantes?

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Veja abaixo alguns pensamentos:

Explicação:

Vamos primeiro falar sobre o que é uma permutação. Para fazer isso, falarei primeiro sobre os fatoriais.

Quando pedimos um monte de coisas e a ordem é importante (como o número de maneiras de encomendar os livros em um conjunto de enciclopédias de 10 volumes), podemos ver que existem #10!# maneiras de organizar os livros - o primeiro livro na prateleira pode ser qualquer um dos 10 livros, o segundo na prateleira pode ser qualquer um dos 9 restantes, o terceiro na prateleira pode ser qualquer um dos 8 restantes, e assim por diante, dando:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1 = 10! = 3,628,800 #

E isso funciona muito bem se quisermos organizar tudo o que você tem à mão. Mas e se quisermos organizar as coisas, mas não todas as coisas? Vamos dizer que temos 10 figuras de ação, mas só temos espaço na prateleira para 6 delas. Quantas maneiras diferentes podemos exibir os números?

Poderíamos calculá-lo dizendo que há 10 figuras que poderíamos colocar na posição 1 na prateleira, depois 9 na posição 2, 8 na posição 3 e assim por diante, dando:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4 = "muita batida na tecla cronometra na calculadora" #

Podemos reduzir esse trabalho vendo que nossa string de multiplicação é a mesma que:

# ((10xx9xx8xx7xx6xx5) (4xx3xx2xx1)) / (4xx3xx2xx1) = (10!) / (4!) #

que podemos reescrever:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)#

e agora temos tudo em termos do que sabíamos (escolhendo 6 coisas de uma população de 10 coisas) e é isso que uma permutação é:

#P_ (n, k) = (n!) / ((N-k)!); n = "população", k = "pega" #

Um fatorial é um número definido - sabemos que #10! = 3,628,800# e #4! = 24#, e assim podemos encontrar a resposta final dizendo:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)=3628800/24=151,200#

Assim, descobrimos que as permutações são ótimas para poupar muito trabalho ao calcular o número de maneiras pelas quais as coisas podem ser solicitadas, onde a ordem dos arranjos é importante. Quanto trabalho? Vamos considerar esta questão:

"Um vôo de avião está sobrevendido. Há 300 pessoas segurando bilhetes para entrar em um avião que tem 250 assentos. Quantas maneiras diferentes podemos arrumar as pessoas no avião?"

A resposta é #P_ (300,250) = (300!) / (50!) #

(a resposta numérica aproximada é # 9.5xx10 ^ 121 #)