Por favor, explique, esta é uma transformação linear ou não?

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Ver abaixo

Explicação:

Uma transformação #T: V para W # é dito ser linear se tiver as duas propriedades a seguir:

• # T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # para cada # v_1, v_2 in V #
• # T (cv) = cT (v) # para cada #v in V # e todo escalar # c #

Note que a segunda propriedade assume que # V # está embutido com duas operações de soma e multiplicação escalar. No nosso caso, a soma é a soma entre polinômios e a multiplicação é a multiplicação com números reais (suponho).

Quando você deriva um polinômio, você diminui seu grau #1#, então se você der um polinômio de grau #4# duas vezes, você receberá um polinômio de grau #2#. Note que, quando falamos do conjunto de todos os quatro graus polinomiais, queremos dizer o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo quatro. De fato, um grau genérico de quatro polinômios é

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Se você quer o grau dois polinômio # 3 + 6x-5x ^ 2 #por exemplo, você simplesmente escolhe

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Com isso dito, vamos identificar o espaço polinomial de grau # n # com # P_n #e definir nosso operador #T: P_4 a P_2 # de tal modo que # T (f (x)) = f '' (x) #

Vamos provar a primeira propriedade: vamos supor que temos os polinômios

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

e

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Isso significa que # p_1 + p_2 # é igual a

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # é a segunda derivada deste polinômio, então é

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Apliquei duas vezes a regra de potência para derivação: a segunda derivada # x ^ n # é #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Agora vamos computar #T (p_1) #, ou seja, a segunda derivada de # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Similarmente, #T (p_2) #, ou seja, a segunda derivada de # p_2 #, é

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Se você somar essa expressão, você pode ver que temos

# T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

A segunda propriedade é mostrada de maneira similar: dado um polinômio

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

nós temos, para qualquer número real # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

sua segunda derivada é assim

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

que novamente é o mesmo que computação # T (p) #, e depois multiplicar tudo por # c #, isto é # T (cp) = cT (p) #