A função f (x) = sin (3x) + cos (3x) é o resultado de séries de transformações, sendo a primeira uma tradução horizontal da função sin (x). Qual destas descreve a primeira transformação?

Responda:

Podemos obter o gráfico de # y = f (x) # de # ysinx # aplicando as seguintes transformações:

• uma tradução horizontal de # pi / 12 # radianos para a esquerda

• um trecho ao longo #Boi# com um fator de escala de #1/3# unidades

• um trecho ao longo # Oy # com um fator de escala de #sqrt (2) # unidades

Explicação:

Considere a função:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Vamos supor que podemos escrever essa combinação linear de seno e cosseno como uma função senoidal de fase única deslocada, que é suposto que temos:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

Nesse caso, comparando os coeficientes de # sin3x # e # cos3x # temos:

# Acos alfa = 1 # e # Asinalpha = 1 #

Ao enquadrar e adicionar, temos:

# A ^ 2cos ^ 2alfa + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Ao dividir, temos:

# tan alpha => alfa = pi / 4 #

Assim podemos escrever #f (x) # na forma:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Então, podemos obter o gráfico de # y = f (x) # de # ysinx # aplicando as seguintes transformações:

• uma tradução horizontal de # pi / 12 # radianos para a esquerda
• um trecho ao longo #Boi# com um fator de escala de #1/3# unidades
• um trecho ao longo # Oy # com um fator de escala de #sqrt (2) # unidades

O que podemos ver graficamente:

O gráfico de # y = sinx #:

graph {sinx -10, 10, -2, 2}

O gráfico de # y = sin (x + pi / 12) #:

gráfico {sen (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

O gráfico de # y = sen (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graph {sen (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

O gráfico de # y = sqrt (2) sen (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sen (3x + pi / 4) #:

gráfico {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

E finalmente, o gráfico da função original para comparação:

gráfico {sen (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}