Um avião voando horizontalmente a uma altitude de 1 mi e velocidade de 500mi / h passa diretamente sobre uma estação de radar. Como você encontra a taxa na qual a distância do avião até a estação está aumentando quando está a 2 milhas de distância da estação?

Responda:

Quando o avião está a 2 m de distância da estação de radar, a taxa de aumento de sua distância é de aproximadamente 433mi / h.

Explicação:

A imagem a seguir representa o nosso problema:

P é a posição do avião

R é a posição da estação de radar

V é o ponto localizado verticalmente da estação de radar na altura do avião

h é a altura do avião

d é a distância entre o avião e a estação de radar

x é a distância entre o plano e o ponto V

Como o avião voa horizontalmente, podemos concluir que o PVR é um triângulo retângulo. Portanto, o teorema de Pitágoras nos permite saber que d é calculado:

# d = sqrt (h ^ 2 + x ^ 2) #

Estamos interessados na situação quando d = 2mi e, como o avião voa horizontalmente, sabemos que h = 1mi independentemente da situação.

Nos estamos procurando por # (dd) / dt = dotd #

# d ^ 2 = h ^ 2 + x ^ 2 #

#rarr (d (d ^ 2)) / dt = (d (d ^ 2)) / (dd) (dd) / dt = cancelar ((d (h ^ 2)) / (dh) (dh) / dt) + (d (x ^ 2)) / (dx) (dx) / dt #

# = 2d dotd = 2xdotx #

#rarr dotd = (2xdotx) / (2d) = (xdotx) / d #

Podemos calcular isso quando d = 2mi:

# x = sqrt (d ^ 2-h ^ 2) = sqrt (2 ^ 2-1 ^ 2) = sqrt3 # mi

Sabendo que o avião voa a uma velocidade constante de 500mi / h, podemos calcular:

# dotd = (sqrt3 * 500) / 2 = 250sqrt3 ~~ 433 # mi / h