Como você determinaria a equação do círculo que passa pelos pontos D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Responda:

Substitua cada ponto pela equação do círculo, desenvolva 3 equações e subtraia as que têm pelo menos 1 coordenada comum (# x # ou # y #).

A resposta é:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicação:

A equação do círculo:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Onde #α# #β# são as coordenadas do centro do círculo.

Substituto para cada ponto dado:

Ponto D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Equação 1)

Ponto E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Equação 2)

Ponto F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Equação 3)

Equações de substract #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Equações de substract #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Agora isso #α# e #β# são conhecidos, substituí-los em qualquer um dos pontos (vamos usar ponto #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Então a equação do círculo se torna:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Responda:

A equação do círculo é # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicação:

Primeiro, precisamos encontrar a equação de duas linhas, cada uma perpendicular aos segmentos formados por um par dos pontos dados e passando pelo ponto médio desse par de pontos.

Desde os pontos D e E (# x_D = x_E = -5 #) estão em uma linha paralela ao eixo Y (# x = 0 #) e pontos E e F (# y_E = y_F = 15 #) estão em uma linha paralela ao eixo-X (# y = 0 #) é conveniente escolher esses pares de pontos.

Equação da linha DE, onde # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Equação da linha 1 perpendicular ao DE e passando pelo ponto médio #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linha 1# -> y = 5 #

Equação da Linha EF, onde # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Equação da linha 2 perpendicular à EF e passando pelo ponto médio #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

linha 2# -> x = 5 #

Combinando as equações das linhas 1 e 2 (# y = 5 # e # x = 5 #) encontramos o centro do círculo, ponto C

#C (5,5) #

A distância entre o ponto C e qualquer um dos pontos indicados é igual ao raio do círculo

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Na fórmula da equação do círculo:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #