Responda:
Por favor, veja a explicação abaixo
Explicação:
A função é
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
As derivadas parciais são
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Deixei # (delf) / (delx) = 0 # e # (delf) / (dely) = 0 #
Então, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
A matriz hessiana é
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
O determinante é
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Assim sendo, Não há pontos de sela.
# D (1,1)> 0 # e # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, há um mínimo local em #(-3,3)#
Responda:
Mínimo local: #(-3,3)#
Explicação:
O grupo de pontos que inclui os pontos extremo e de sela são encontrados quando # (delf) / (delx) (x, y) # e # (delf) / (dely) (x, y) # são iguais a zero.
Assumindo # x # e # y # são variáveis independentes:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Então nós temos duas equações simultâneas, que felizmente são lineares:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Desde o primeiro:
# y = -2x-3 #
Substitua no segundo:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Substitua de volta para o primeiro:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Portanto, há um ponto em que as primeiras derivadas se tornam uniformemente zero, seja um extremo ou uma sela, # (x, y) = (- 3,3) #.
Para deduzir qual, devemos computar a matriz de segunda derivada, a matriz Hessiana (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
portanto
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Todas as derivadas de segunda ordem são uniformemente constantes, quaisquer que sejam os valores de # x # e # y #, portanto, não precisamos especificamente calcular os valores para o ponto de interesse.
NB A ordem de diferenciação não importa para funções com segunda derivada contínua (Teorema de Clairault, aplicação aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), e assim esperamos que # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, como vemos em nosso resultado específico acima.
Neste caso de duas variáveis, podemos deduzir o tipo de ponto do determinante do Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Uma forma do teste para administrar é dada aqui:
Nós vemos que o determinante é #>0#e assim é # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Então, concluímos que #(-3,3)#, o único ponto zero da primeira derivada, é um mínimo local da função.
Como uma verificação de sanidade para uma questão de função unidimensional, eu costumo postar o gráfico dela, mas o Socratic não tem uma superfície ou contorno adequado para funções bidimensionais, tanto quanto eu posso ver. Então eu vou overplot as duas funções #f (-3, y) # e #f (x, 3) #, que não caracterizam todo o domínio da função para nós, mas nos mostrará o mínimo entre eles, que aparece como esperado em # y = 3 # e # x = -3 #, tendo valor de função idêntica # f = -5 # em cada caso.
Como #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6a + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
gráfico {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
