Se a ^ 3 + b ^ 3 = 8 e a ^ 2 + b ^ 2 = 4, qual é o valor de (a + b)?

Responda:

Existem dois valores possíveis para a soma, # a + b = 2 # (para # a = 2 # e # b = 0 #) ou # a + b = -4 # (para # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Explicação:

Existem realmente duas incógnitas, a soma e o produto de #uma# e # b, # então deixe #x = a + b # e #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Duas equações em dois desconhecidos

# 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Isso é chamado de depressão cúbica, e eles têm uma solução de forma fechada muito fácil, como a fórmula quadrática. Mas ao invés de tocar isso, vamos adivinhar uma raiz pelo método honrado de tentar números pequenos. Nós vemos # x = 2 # funciona assim # (x-2) # é um fator.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Podemos agora fator adicional

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Então, existem dois valores possíveis para a soma, # a + b = 2 # e # a + b = -4. #

A primeira resposta corresponde à solução real # a = 2, b = 0 # e por simetria # a = 0, b = 2 #. A segunda resposta corresponde à soma de um par de conjugados complexos. Eles estão # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Você pode verificar esta solução?

Responda:

# (a + b) = 2, ou, a + b = -4 #

Explicação:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Agora,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Deixei,

# (a + b) = x #

Assim, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Observe aquilo #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # é um fator.

Agora, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, ou, x = -4 #.

#:. a + b = 2, ou, a + b = -4 #.

O gráfico é dado aqui.

O valor de #color (vermelho) ((a + b) = 2, ou, -4. #

Espero que ajude…

Obrigado…