Seja S um quadrado de área unitária. Considere qualquer quadrilátero que tenha um vértice em cada lado de S. Se a, b, ced denotar os comprimentos dos lados do quadrilátero, prove que 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4

Deixei # ABCD # ser um quadrado de área unitária.

assim # AB = BC = CD = DA = 1 # unidade.

Deixei # PQRS # seja um quadrilátero que tenha um vértice em cada lado do quadrado. Aqui vamos # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Aplicando Pitágoras Thorem podemos escrever

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Agora pelo problema que temos

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Conseqüentemente

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #