Prove que a função não tem lim em x_0 = 0? + Exemplo

Responda:

Veja explicação.

Explicação:

De acordo com a definição de Heine de um limite de função, temos:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Então, para mostrar que uma função tem NÃO limite em # x_0 # nós temos que encontrar duas seqüências # {x_n} # e # {bar (x) _n} # de tal modo que

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} barra (x) _n = x_0 #

e

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (barra (x) _n) #

No exemplo dado, essas sequências podem ser:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # e #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Ambas as sequências convergem para # x_0 = 0 #, mas de acordo com a fórmula da função, temos:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

porque todos os elementos # x_n # estão dentro #1,1/2,1/4,…#

e para #bar (x) _n # temos:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

mas para todos #n> = 2 # temos: #f (bar (x) _n) = 1 #

Então para #n -> + oo # temos:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Ambas as sequências cobrem # x_0 = 0 #, mas os limites (*) e (**) são NÃO igual, então o limite #lim_ {x-> 0} f (x) # não existe.

QED

A definição do limite pode ser encontrada na Wikipedia em:

Responda:

Aqui está uma prova usando a negação da definição da existência de um limite.

Explicação:

Versão curta

#f (x) # não pode se aproximar de um único número #EU# porque em qualquer bairro de #0#, a função # f # assume valores que diferem uns dos outros por #1#.

Então, não importa o que alguém propõe para #EU#há pontos # x # perto #0#, Onde #f (x) # é pelo menos #1/2# unidade longe de #EU#

Versão longa

#lim_ (xrarr0) f (x) # existe se e somente se

há um número #EU# tal para todos #epsilon> 0 #, existe um #delta> 0 # tal que para todos # x #, # 0 <abs (x) <delta # implica #abs (f (x) -L) <epsilon #

A negação disso é:

#lim_ (xrarr0) f (x) # não existe se e somente se

para cada número, #EU# há um #epsilon> 0 #, tal que para todos #delta> 0 # há um # x #, de tal modo que # 0 <abs (x) <delta # e #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Dado um número #EU#, Eu deixarei #epsilon = 1/2 # (qualquer menor # epsilon # vai funcionar também)

Agora, dado um positivo #delta#, Devo mostrar que existe uma # x # com # 0 <absx <delta # e #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (lembre-se que #epsilon = 1/2 #)

Dado um positivo #delta# eventualmente # 1/2 ^ n <delta # então há um # x_1 # com #f (x_1) = 2 #.

Existe também um elemento # x_2 em RR- {1, 1/2, 1/4,… } # com # 0 <x_2 <delta # e #f (x_2) = 1 #

E se #L <= (1/2) #, então #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

E se #L> = (1/2) #, então #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #