Resolva a seguinte equação em números naturais: x² + y² = 1997 (x-y)?

Responda:

# (x, y) = (170, 145) # ou # (x, y) = (1817, 145) #

Explicação:

A seguinte prova é baseada no livro "Uma Introdução às Equações Diofantinas: Uma Abordagem Baseada em Problemas" por Titu Andreescu, Dorin Andrica e Ion Cucurezeanu.

Dado:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Deixei #a = (x + y) # e #b = (1997-x + y) #

Então:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Daí encontramos:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Desde a #1997# é primo #uma# e # b # não tem nenhum fator comum maior que #1#.

Portanto, existem inteiros positivos #m, n # com #m> n # e nenhum fator comum maior que #1# de tal modo que:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} cor (branco) (XX) "ou" cor (branco) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Olhando para # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # em mod #3# e mod #5# aritmética, encontramos:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) conseqüentemente #m - = + -1 # e #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) conseqüentemente #m - = + -1 # e #n - = + -1 # (mod #5#)

Isso significa que as únicas possibilidades de #m, n # módulo #15# está #1, 4, 11, 14#.

Além disso, note que:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Conseqüentemente:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Então as únicas possibilidades para # m # está #34, 41, 44#

Nós achamos:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# não é um quadrado perfeito.

#1997 - 44^2 = 61# não é um quadrado perfeito.

assim # (m, n) = (34, 29) #

Assim:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#cor branca)()#

E se # (a, b) = (1972, 315) # então:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

e, portanto:

# (x, y) = (1817, 145) #

#cor branca)()#

E se # (a, b) = (315, 1972) # então:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

e, portanto:

# (x, y) = (170, 145) #