Quais são alguns exemplos de identidades de soma e diferença?

Aqui está um exemplo de uso de uma identidade de soma:

Encontrar # sin15 ^ @ #.

Se pudermos encontrar (pense em) dois ângulos #UMA# e # B # cuja soma ou cuja diferença é 15, e cujo seno e cosseno nós conhecemos.

#sin (A-B) = sinAcosB-cosAsinB #

Podemos notar que #75-60=15#

assim # sin15 ^ @ = sin (75 ^ @ - 60 ^ @) = sin75 ^ @ cos60 ^ @ - cos75 ^ @ sin60 ^ @ #

MAS não sabemos seno e cosseno de #75^@#. Então isso não nos dará a resposta. (Eu o incluí porque, ao resolver problemas, algumas vezes pensamos em abordagens que não funcionam. E tudo bem.)

#45-30=15# e eu sei as funções trigonométricas para #45^@# e #30^@#

# sin15 ^ @ = sin (45 ^ @ - 30 ^ @) = sin45 ^ @ cos30 ^ @ - cos45 ^ @ sin30 ^ @ #

# = (sqrt2 / 2) (sqrt3 / 2) - (sqrt2 / 2) (1/2) #

# = (sqrt6 - sqrt 2) / 4 #

Há outra maneira de escrever a resposta.

Nota 1

Poderíamos usar os mesmos dois ângulos e a identidade para #cos (A-B) # encontrar #cos 15 ^ @ #

Nota 2

Ao invés de #45-30=15# nós poderíamos ter usado #60-45=15#

Nota 3

Agora que nós temos #sin 15 ^ @ # nós poderíamos usar #60+15=75# e #sin (A + B) # encontrar # sin75 ^ @ #. Embora a questão tenha sido encontrar # sin75 ^ @, provavelmente usaria #30^@# e #45^@#