Qual é a segunda derivada de (f * g) (x) se f e g são funções tais que f '(x) = g (x) e g' (x) = f (x)?

Responda:

# (4f * g) (x) #

Explicação:

Deixei #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Em seguida, usando a regra do produto:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Usando a condição dada na pergunta, obtemos:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Agora, usando as regras de energia e corrente:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Aplicando a condição especial desta questão novamente, escrevemos:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Responda:

Outra resposta no caso # f * g # destina-se a ser a composição de # f # e # g #

Explicação:

Queremos encontrar a segunda derivada de # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Nós diferenciamos uma vez usando a regra da cadeia.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Então nos diferenciamos novamente usando as regras da cadeia de produtos

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #