Como diferenciar implicitamente y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Responda:

Use as regras de produtos e quocientes e faça um monte de álgebra tediosa para obter # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Explicação:

Vamos começar no lado esquerdo:

# y ^ 2 / x #

Para pegar a derivada disso, precisamos usar a regra do quociente:

# d / dx (u / v) = (uv-uv ') / v ^ 2 #

Nós temos # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # e # v = x-> v '= 1 #, assim:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Agora para o lado direito:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Podemos usar a regra de soma e multiplicação de uma regra constante para dividir isso em:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

O segundo deles exigirá a regra do produto:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Com # u = y-> u '= dy / dx # e # v = x ^ 2-> v '= 2x #. Assim:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Nosso problema agora diz:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Nós podemos adicionar # x ^ 2dy / dx # para ambos os lados e fatorar um # dy / dx # para isolar:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Eu espero que você goste de álgebra, porque esta é uma equação desagradável que precisa ser simplificada:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dx / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

Como você diferencia implicitamente 4 = y- (x-e ^ y) / (y-x)?

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Primeiro temos que nos familiarizar com alguns cálculos de regras f (x) = 2x + 4 nós pode diferenciar 2x e 4 separadamente f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 Similarmente podemos diferenciar o 4, y e - (xe ^ y) / (yx) separadamente dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Sabemos que as constantes de diferenciação dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Da mesma forma, a regra para diferenciar y é dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Por fim para diferenciar (xe ^ y) / (yx) temos que usar a regra d

Como você diferencia implicitamente 9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y-xy?

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2 yx) + y - xy Diferencie em relação a x. A derivada do exponencial é ela mesma, vezes a derivada do expoente. Lembre-se que sempre que você diferencia algo que contém y, a regra da cadeia fornece um fator de y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y Agora resolva para y'. Aqui está um começo: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y Obter todos os termos tendo y

Como diferenciar implicitamente -1 = xy ^ 2 + x ^ 2y-e ^ y-sec (xy)?

Comece com -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) Vamos substituir o secante por um cosseno. -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) Agora tomamos o derivado wrt x em AMBOS OS LADOS! d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) A derivada de uma constante é zero e a derivada é linear! 0 = d / dx (xy ^ 2) + d / dx (x ^ 2y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) Agora usando regra de produto apenas no primeiro dois termos nós conseguimos! 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y ) -d / dx (1 / cos (xy)) Os próximos lotes e lote