Encontre a área da região sombreada?

Responda:

Por favor veja abaixo.

Explicação:

Quando primeiro aprendemos a encontrar áreas por integração, tomamos retângulos representativos verticalmente.

Os retângulos têm base # dx # (uma pequena mudança na # x #) e alturas iguais ao maior # y # (aquele na curva superior) menos o menor # y # valor (aquele na curva inferior). Nós então integramos dos menores # x # valor para o maior # x # valor.

Para este novo problema, poderíamos usar dois desses intergrants (Veja a resposta de Jim S), mas é muito valioso para aprender a transformar o nosso pensamento #90^@#.

Tomaremos retângulos representativos horiontally.

Os retângulos têm altura # dy # (uma pequena mudança na # y #) e bases iguais ao maior # x # (o da curva mais à direita) menos o menor # x # valor (aquele na curva mais à esquerda). Nós então integramos dos menores # y # valor para o maior # y # valor.

Observe a dualidade

# {:("vertical", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("superior", iff, "mais à direita"), ("inferior", iff, "mais à esquerda"), (x, iff, y):} #

A frase "do menor # x # valor para o maior # x # valor. "indica que integramos da esquerda para a direita. (No sentido de aumentar # x # valores.)

A frase "do menor # y # valor para o maior # y # valor. "indica que integramos de baixo para cima. (No sentido de aumentar # y # valores.)

Aqui está uma foto da região com um pequeno retângulo indicado:

A área é

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Responda:

Área da região sombreada é # 1m ^ 2 #

Explicação:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (podemos ver no gráfico)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (também podemos ver no gráfico)

Uma das muitas maneiras pelas quais a área da região sombreada pode ser expressa pode ser a área do triângulo # AhatOB = Ω # excluindo a área cyan que eu chamarei #color (ciano) (Ω_3) #

Deixei #Ω_1# seja a área preta mostrada no gráfico e #color (verde) (Ω_2) # a área verde mostrada no gráfico.

A área do pequeno triângulo # ChatAD = # #color (verde) (Ω_2) # será:

• #color (verde) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

A área de #Ω_1# será:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Como resultado, a área sombreada será

• #Ω_1## + cor (verde) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #