A renda per capita é 160 vezes maior nos EUA do que no Congo. per capita cresce em média 3% ao ano nos EUA e 6% ao ano no Congo. Quantos anos levaria até que o per capita no Congo exceda o dos Estados Unidos?

Responda:

# n = log (160) / log (1,06 / 1,03) ~~ 176,77 # anos

Explicação:

Suponha que o Congo tenha renda per capita de #$1#, enquanto os EUA tem #160# vezes maior de #$160# (para simplificar o cálculo, quaisquer outros valores também serviriam).

Renda per capita do Congo cresce em #6%# por ano. Assim, no próximo ano seria #$1*1.06=$1.06#, e no ano seguinte seria #$1*1.06*1.06=$1*1.06^2#. Depois de # n # anos, a renda per capita subiria para # $ 1 * 1.06 ^ n #.

Da mesma forma, a renda per capita dos EUA aumentaria # $ 160 * 1.03 ^ n # depois de # n # anos.

Renda per capita do Congo excederia a dos EUA quando

# 1.06 ^ n = 160 * 1.03 ^ n #

# 160 = 1.06 ^ n / 1.03 ^ n = (1.06 / 1.03) ^ n #

Tome o logaritmo de ambos os lados:

#log (160) = log ((1.06 / 1.03) ^ n) = nlog (1,06 / 1,03) #

onde usamos o fato de que #log (a ^ b) = blog (a) # no lado direito.

Portanto, # n = log (160) / log (1,06 / 1,03) ~~ 176,77 # anos.