Como eu simplifico (sen ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Responda:

# cos ^ 5x #

Explicação:

Este tipo de problema realmente não é tão ruim assim que você reconhece que envolve uma pequena álgebra!

Primeiro, vou reescrever a expressão dada para facilitar o entendimento dos seguintes passos. Nós sabemos isso # sin ^ 2x # é apenas uma maneira mais simples de escrever # (sem x) ^ 2 #. Similarmente, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Agora podemos reescrever a expressão original.

# (sen ^ 4 x - 2 sen ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (seno x) ^ 2 + 1 cos x #

Agora, aqui está a parte que envolve álgebra. Deixei #sin x = a #. Nós podemos escrever # (seno x) ^ 4 - 2 (seno x) ^ 2 + 1 # Como

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Isso parece familiar? Nós só precisamos fatorar isso! Este é um trinômio quadrado perfeito. Desde a # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, nós podemos dizer

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Agora, volte para a situação original. Re-substituto #sin x # para #uma#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (seno x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (cor (azul) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Agora podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar os termos em azul. Reorganizando a identidade # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, Nós temos #color (azul) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (cor (azul) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Depois de enquadrarmos isso, os sinais negativos se multiplicam para se tornarem positivos.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Portanto, # (sen ^ 4 x - 2 sen ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.