Como eu simplifico o pecado (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Responda:

eu recebo #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Explicação:

Nós temos o seno de uma diferença, então o primeiro passo será a fórmula do ângulo de diferença, #sin (a-b) = sen um cos b - cos a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Bem, o seno de arcsine e o cosseno de arccosine são fáceis, mas e os outros? Bem nós reconhecemos #arccos (sqrt {2} / 2) # Como # pm 45 ^ circ #, assim

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Vou deixar o #PM# lá; Eu tento seguir a convenção de que arccos são todos cossenos inversos, versus Arccos, o valor principal.

Se sabemos que o seno de um ângulo é # 2x #é um lado do # 2x # e uma hipotenusa de #1# então o outro lado é # sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Agora, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #