Qual é a definição de uma prova de coordenadas? E qual é um exemplo?

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Explicação:

A prova de coordenadas é uma prova algébrica de um teorema geométrico. Em outras palavras, usamos números (coordenadas) em vez de pontos e linhas.

Em alguns casos, para provar um teorema algebricamente, usando coordenadas, é mais fácil do que apresentar uma prova lógica usando os teoremas da geometria.

Por exemplo, vamos provar usando o método de coordenadas, o Teorema da Linha Média, que afirma:

Os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.

Deixe quatro pontos #A (x_A, y_A) #, #B (x_B, y_B) #, #C (x_C, y_C) # e #D (x_D, y_D) # são vértices de qualquer quadrilátero com coordenadas dadas entre parênteses.

Ponto médio # P # do # AB # tem coordenadas

# (x_P = (x_A + x_B) / 2, y_P = (y_A + y_B) / 2) #

Ponto médio # Q # do #DE ANÚNCIOS# tem coordenadas

# (x_Q = (x_A + x_D) / 2, y_Q = (y_A + y_D) / 2) #

Ponto médio # R # do # CB # tem coordenadas

# (x_R = (x_C + x_B) / 2, y_R = (y_C + y_B) / 2) #

Ponto médio # S # do #CD# tem coordenadas

# (x_S = (x_C + x_D) / 2, y_S = (y_C + y_D) / 2) #

Vamos provar isso # PQ # é paralelo a # RS #. Para isso, vamos calcular a inclinação de ambos e compará-los.

# PQ # tem uma inclinação

# (y_Q-y_P) / (x_Q-x_P) = (y_A + y_D-y_A-y_B) / (x_A + x_ D-x_A-x_B) = #

# = (y_D-y_B) / (x_D-x_B) #

# RS # tem uma inclinação

# (y_S-y_R) / (x_S-x_R) = (y_C + y_D-y_C-y_B) / (x_C + x_ D-x_C-x_B) = #

# = (y_D-y_B) / (x_D-x_B) #

Como podemos ver, as encostas de # PQ # e # RS # são os mesmos.

Analogamente, encostas de # PR # e # QS # são os mesmos também.

Então, nós provamos que lados opostos do quadrilátero # PQRS # são paralelos entre si. Essa é uma condição suficiente para que esse objeto seja um paralelogramo.