Seja P (x_1, y_1) um ponto e seja a reta com a equação ax + by + c = 0.Mostre que a distância d de P-> l é dada por: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Encontre a distância d do ponto P (6,7) da linha l com a equação 3x + 4y = 11?

Responda:

#d = 7 #

Explicação:

Deixei # l-> a x + b y + c = 0 # e # p_1 = (x_1, y_1) # um ponto não em #eu#.

Supondo que #b ne 0 # e chamando # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # depois de substituir #y = - (a x + c) / b # para dentro # d ^ 2 # temos

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. O próximo passo é encontrar o # d ^ 2 # mínimo em relação # x # então vamos encontrar # x # de tal modo que

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Isso ocorre para

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Agora, substituindo este valor em # d ^ 2 # nós obtemos

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # assim

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Agora dado

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # e # p_1 = (6,7) # então

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #