Responda:
Assim, a equação da norma é dada por
# y = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Explicação:
Dado
# y = 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Em qualquer ponto do gráfico, o normal tem inclinação perpendicular à inclinação da tangente no ponto dado pela primeira derivada da função.
# (dy) / dx = 2xxx1 / (2sqrt (x ^ 2 + 8)) xx2x + 0 = (2x ^ 2) / sqrt (x ^ 2 + 8) #
Inclinação da tangente # m = (2x ^ 2) / sqrt (x ^ 2 + 8) #
Assim, o normal tem o declive igual ao recíproco negativo
Inclinação do normal #m '= (- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2 #
Interceptação feita pela linha reta no eixo y é dada por
# c = y-mx = y - ((- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2x) #
Substituindo por # y # e simplificando
# c = (2xsqrt (x ^ 2 + 8) +2) + (xsqrt (x ^ 2 + 8)) / 2 #
# = (2x + x / 2) sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 = (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# c = (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Equação de uma linha reta que tem inclinação m e intercepta como c é dado por
# y = mx + c #
#y = (- sqrt (x ^ 2 + 8)) / 2x + (5x) / 2sqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# = (- 1 + 5/2) xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
# = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
Assim, a equação do normal é dada por
# y = 3 / 2xsqrt (x ^ 2 + 8) + 2 #
