Como você integra int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx usando substituição trigonométrica?

Responda:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Explicação:

A solução é um pouco demorada !!!

Do dado #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Tome nota que # i = sqrt (-1) # o número imaginário

Separe esse número complexo por algum tempo e prossiga para a integral

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

completando o quadrado e fazendo algum agrupamento:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Primeira substituição trigonométrica: ##

O ângulo agudo #W# com o lado oposto # = e ^ x + 10 # e lado adjacente #=1# com hipotenusa#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Deixei # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

e depois

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

A integral se torna

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (seg ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (seg ^ 2w) * (seg ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / seg w * (seg ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (bronzeado w-10) #

da trigonometria #sec w = 1 / cos w # e #tan w = sin w / cos w #

A integral se torna

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # e

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Segunda substituição trigonométrica:

Deixei # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

e também # z = tan (w / 2) #

O triângulo retângulo: o ângulo agudo # w / 2 # com o lado oposto # = z #

Lado adjacente #=1# e hipotenusa # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

De trigonometria: Recordando fórmulas de meio ângulo

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1 cos) / 2 #

resolvendo para #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Também usando a identidade #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

segue que

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

a integral se torna

#int (dw) / (sen w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Simplificando os resultados integrais para

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Ao completar o quadrado:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Use agora a fórmula #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + c #

Deixei # u = z + 1/10 # e # a = sqrt101 / 10 # e incluindo de volta o # i = sqrt (-1) #

Escreva a resposta final usando variáveis originais

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #