Como você integra int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx usando substituição trigonométrica?

Responda:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Explicação:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3tan theta "" d x = 3sec ^ 2 theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3sec ^ 2 theta d theta) / sqrt (9tan ^ 2 theta + 9) = int (3seg ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (1 + tan ^ 2 teta)) "" 1 + tan ^ 2 teta = sec ^ 2 teta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (3seg ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (seg ^ 2 theta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (cancelar (3seg ^ 2teta) dteta) / (cancelar (3seg teta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int seg teta d teta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = l n | seg teta + tan teta | + c #

#tan theta = (x-2) / 3 "" sec theta = sqrt (1 + tan ^ 2 theta) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Responda:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + c #

Explicação:

A versão hiperbólica também é possível:

• # x-2 = 3 sinh u #
• #dx = 3 cosh u du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9sinh ^ 2u + 9) 3cosh e = int 1 / (3cosh) 3cosh e = u + C #

Conseqüentemente:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + c #