Quais são os extremos absolutos de f (x) = x - e ^ x em [1, ln8]?

Responda:

Existe um máximo absoluto de #-1.718# a # x = 1 # e um mínimo absoluto de #-5.921# a # x = ln8 #.

Explicação:

Para determinar extremo absoluto Em um intervalo, devemos encontrar os valores críticos da função que estão dentro do intervalo. Então, devemos testar os pontos finais do intervalo e os valores críticos. Estes são os pontos onde os valores críticos podem ocorrer.

Encontrando valores críticos:

Os valores críticos de #f (x) # ocorrem sempre #f '(x) = 0 #. Assim, devemos encontrar a derivada de #f (x) #.

E se:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Então: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Então, os valores críticos ocorrerão quando: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

O que implica que:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Assim:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 = 0 #

O único valor crítico da função está em # x = 0 #, qual é não no intervalo dado # 1, ln8 #. Assim, os únicos valores em que os extremos absolutos podem ocorrer são em # x = 1 # e # x = ln8 #.

Testando valores possíveis:

Simplesmente encontre #f (1) # e #f (ln8) #. O menor é o mínimo absoluto da função e o maior é o máximo absoluto.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Assim, há um máximo absoluto de #-1.718# a # x = 1 # e um mínimo absoluto de #-5.921# a # x = ln8 #.

Representada graficamente é a função original no intervalo dado:

gráfico {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Como não há valores críticos, a função permanecerá diminuindo durante todo o intervalo. Desde a # x = 1 # é o começo do intervalo constantemente decrescente, ele terá o valor mais alto. A mesma lógica se aplica a # x = ln8 #, pois é o mais distante do intervalo e será o mais baixo.