Z1 + z2 = z1 + z2 se e somente se arg (z1) = arg (z2), onde z1 e z2 são números complexos. como? Por favor explique!

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Por favor, consulte o Discussão no Explicação.

Explicação:

Deixei, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 e arg (z_j) = teta_j em (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Claramente, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintoeta_1 + r_2sintoeta_2). #

Lembre-se de que # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintoeta_1 + r_2sintoeta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (estrela ^ 1) #.

# "Agora, considerando isso," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, ou seja, #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (estrela ^ 2). #

De # (estrela ^ 1) e (estrela ^ 2) # Nós temos, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Cancelando" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k em ZZ. #

# "Mas," theta_1, theta_2 em (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0 ou #

# theta_1 = theta_2, "dando", arg (z_1) = arg (z_2), # Como desejado!

Assim, mostramos que, # | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

o conversar pode ser provado em linhas semelhantes.

Desfrute de matemática!