Quais são os fatores para y = x ^ 2 - 4x +7?

Responda:

Isso pode ser considerado com coeficientes complexos:

# x ^ 2-4x + 7 = (x-2-sqrt (3) i) (x-2 + sqrt (3) i) #

Explicação:

Dado:

#y = x ^ 2-4x + 7 #

Observe que isso está no formato padrão:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

com # a = 1 #, # b = -4 # e # c = 7 #.

Isso tem discriminante #Delta# dada pela fórmula:

#Delta = b ^ 2-4ac #

#color (branco) (Delta) = (cor (azul) (- 4)) ^ 2-4 (cor (azul) (1)) (cor (azul) (7)) #

#color (branco) (Delta) = 16-28 #

#color (branco) (Delta) = -12 #

Desde a #Delta <0 #, esta quadrática não possui zeros reais e nenhum fator linear com coeficientes reais.

Ainda podemos fatorar isso, mas precisamos de coeficientes complexos não reais.

A diferença da identidade dos quadrados pode ser escrita:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

Podemos completar o quadrado e usar isso com # A = (x + 2) # e # B = sqrt (3) i # (Onde #Eu# é o unidade imaginária satisfazendo # i ^ 2 = -1 #) do seguinte modo:

# x ^ 2-4x + 7 = x ^ 2-4x + 4 + 3 #

#color (branco) (x ^ 2-4x + 7) = (x-2) ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 #

#color (branco) (x ^ 2-4x + 7) = ((x-2) -sqrt (3) i) ((x-2) + sqrt (3) i) #

#color (branco) (x ^ 2-4x + 7) = (x-2-sqrt (3) i) (x-2 + sqrt (3) i) #