Qual é a antiderivada de (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Responda:

A resposta é # x + arctan (x) #

Explicação:

Primeiro note que: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # pode ser escrito como # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

O derivado de #arctan (x) # é # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Isso implica que a antiderivada de # 1 / (1 + x ^ 2) # é #arctan (x) #

E é nessa base que podemos escrever: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Conseqüentemente, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Então a antiderivada de # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # é #color (azul) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

Não confunda o # antiderivada # com o integral indefinida

Antiderivada não envolve uma constante. Na verdade, encontrar a antiderivada não significa intergrate!