Qual é a diferença entre uma antiderivada e uma integral?

Não há diferenças, as duas palavras são sinônimas.

Depende de algumas coisas. Qual antiderivada, geral ou particular? qual integral definida ou indefinida? E quem estamos perguntando?

Integral Geral Antiderivada e Indefinida:

Muitos matemáticos não distinguem a integral indefinida e a antiderivada geral. Em ambos os casos para função # f # a resposta é #F (x) + C # Onde #F '(x) = f (x) #..

Alguns (por exemplo, autor de livros didáticos James Stewart) fazem uma distinção. O que Stewart se refere como "a mais geral" antiderivada de # f #, admite diferentes constantes em cada disconti # f #. Por exemplo, ele responderia que a antiderivada mais geral de # 1 / x ^ 2 # é uma função definida por partes:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # para #x <0 # e # (- 1) / x + C_2 # para #x> 0 #.

A integral indefinida de # f #, neste tratamento, é sempre uma antiderivada em algum intervalo em que # f # é contínuo.

assim #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, onde se entende que o domínio é restrito a algum subconjunto dos reais positivos ou de um subconjunto dos reais negativos.

Antiderivados Particulares

Uma antiderivada particular de # f # é uma função # F # (em vez de uma família de funções) para a qual #F '(x) = f (x) #.

Por exemplo:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # para #x <0 # e # (- 1) / x + 1 # para #x> 0 #.

é um antidervativo particular de #f (x) = 1 / x ^ 2 #

E:

#G (x) = (- 1) / x-3 # para #x <0 # e # (- 1) / x + 6 # para #x> 0 #.

é um antidervativo particular diferente de #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integrais definitivas

A integral definida de # f # de #uma# para # b # não é uma função. É um número.

Por exemplo:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Para complicar ainda mais, esta integral definida pode ser encontrada, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, encontrando a / uma antiderivada integral / geral indefinida primeiro, e depois fazendo alguma sonoridade.)

A sua pergunta está relacionada com o que foi verdadeiramente o "insight chave" no desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

Concentrando-se em funções que nunca são negativas, essa percepção pode ser expressa como: "Antiderivivos podem ser usados para encontrar áreas (integrais) e áreas (integrais) podem ser usadas para definir antiderivativos ". Esta é a essência do Teorema Fundamental do Cálculo.

Sem se preocupar com as somas de Riemann (afinal, Bernhard Riemann viveu quase 200 anos depois de Newton e Leibniz) e tomando a noção de área como um conceito intuitivo (indefinido), para uma função contínua não negativa. #f (x) geq 0 # para todos # x # com #a leq x leq b #, apenas pense no símbolo integral definido # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # como representando a área sob o gráfico de # f # e acima do # x #-axis entre # x = a # e # x = b #. Se outra função # F # pode ser encontrado para que #F '(x) = f (x) # para todos #a leq x leq b #, então # F # é chamado de antiderivada de # f # sobre o intervalo # a, b # e a diferença #F (b) -F (a) # é igual ao valor da integral definida. Isso é, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Este fato é útil para encontrando o valor de uma integral definida (área) quando uma fórmula para uma antiderivada pode ser encontrada.

Por outro lado, se fizermos do limite superior do símbolo integral uma variável, chame-o # t #e defina uma função # F # pela fórmula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (assim #F (t) # é realmente a área sob o gráfico de # f # entre # x = a # e # x = t #, assumindo #a leq t leq b #), então esta nova função # F # é bem definido, diferenciável e #F '(t) = f (t) # para todos os números # t # entre #uma# e # b #. Nós usamos um integral para definir uma antiderivada de # f #. Este fato é útil para aproximar valores de uma antiderivada quando nenhuma fórmula para ela pode ser encontrada (usando métodos de integração numérica como a regra de Simpson). Por exemplo, é usado o tempo todo pelos estatísticos ao aproximar as áreas sob a curva Normal. Os valores de uma antiderivada especial da curva Normal padrão são freqüentemente dados em uma tabela em livros de estatísticas.

No caso em que # f # tem valores negativos, a integral definida deve ser pensada em termos de "áreas assinadas".