Suponha que houvesse uma base e um certo número de dimensões para o subespaço W em RR ^ 4. Por que o número de dimensões é 2?

Responda:

4 dimensões menos 2 restrições = 2 dimensões

Explicação:

A terceira e a quarta coordenadas são as únicas independentes. Os dois primeiros podem ser expressos em termos dos dois últimos.

Responda:

A dimensão de um subespaço é decidida por suas bases, e não pela dimensão de qualquer espaço vetorial do qual é um subespaço.

Explicação:

A dimensão de um espaço vetorial é definida pelo número de vetores em uma base desse espaço (para espaços dimensionais infinitos, é definido pela cardinalidade de uma base). Observe que essa definição é consistente, pois podemos provar que qualquer base de um espaço vetorial terá o mesmo número de vetores que qualquer outra base.

No caso de # RR ^ n # nós sabemos isso #dim (RR ^ n) = n # Como

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

é uma base para # RR ^ n # e tem # n # elementos.

No caso de #W = s, t em RR # podemos escrever qualquer elemento em #W# Como #svec (u) + tvec (v) # Onde #vec (u) = (4,1,0,1) # e #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

A partir disso, temos que # {vec (u), vec (v)} # é um conjunto abrangente para #W#. Porque #vec (u) # e #vec (v) # claramente não são múltiplos escalares um do outro (note as posições do #0#s), isso significa que # {vec (u), vec (v)} # é um conjunto de span linearmente independente para #W#, isto é, uma base. Porque #W# tem uma base com #2# elementos, dizemos que #dim (W) = 2 #.

Observe que a dimensão de um espaço vetorial não depende de seus vetores existirem em outros espaços vetoriais de dimensão maior. A única relação é que se #W# é um subespaço de # V # então #dim (W) <= dim (V) # e #dim (W) = dim (V) <=> W = V #