Responda:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Explicação:
Deixei #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Vamos supor que estamos lidando com valores reais e, portanto, com o logaritmo natural real.
Então somos obrigados a #x> 0 # para que #ln (5x) # ser definida.
Para qualquer #x> 0 # ambos os termos são bem definidos e assim #f (x) # é uma função bem definida com domínio # (0, oo) #.
Observe que # 3ln (5) # e # x ^ 3 # Ambos são estritamente monótonos aumentando neste domínio, então nossa função é muito e é um-para-um.
Para pequenos valores positivos de # x #, o termo # x ^ 3 # é pequeno e positivo e o termo # 3ln (5x) # é arbitrariamente grande e negativo.
Para grandes valores positivos de # x #, o termo # 3ln (5x) # é positivo e o termo # x ^ 3 # é arbitrariamente grande e positivo.
Como a função também é contínua, o alcance é # (- oo, oo) #
Então, para qualquer valor de #y em (-oo, oo) # existe um valor único de #x em (0, oo) # de tal modo que #f (x) = y #.
Isso define nossa função inversa:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Isso é #f ^ (- 1) (y) # é o valor de # x # de tal modo que #f (x) = y #.
Nós mostramos (informalmente) que isto existe, mas não há solução algébrica para # x # em termos de # y #.
O gráfico de #f ^ (- 1) (y) # é o gráfico de #f (x) # refletido na linha # y = x #.
Na notação de conjunto:
#f = {(x, y) em (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) em RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
