O que significa um ponto de exclamação em matemática? + Exemplo

Responda:

Um ponto de exclamação indica algo chamado fatorial.

Explicação:

A definição formal de #n! # (n fatorial) é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a # n #. Em símbolos matemáticos:

#n! = n * (n-1) * (n-2) … #

Confie em mim, é menos confuso do que parece. Digamos que você queria encontrar #5!#. Você apenas multiplica todos os números menores ou iguais a #5# até chegar a #1#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

Ou #6!#:

#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

O melhor dos factorials é a facilidade com que você pode simplificá-los. Digamos que você tenha o seguinte problema:

Calcular #(10!)/(9!)#.

Com base no que eu disse acima, você pode pensar que precisará multiplicar #10*9*8*7…# e dividi-lo por #9*8*7*6…#, o que provavelmente levará muito tempo. No entanto, não precisa ser tão difícil. Desde a #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1#e #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#, você pode expressar o problema assim:

#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

E dê uma olhada nisso! Os números #1# através #9# cancelar:

# (10 * cancel9 * cancel8 * cancel7 * cancel6 * cancel5 * cancel4 * cancel3 * cancel2 * cancel1) / (cancel9 * cancel8 * cancel7 * cancel6 * cancel5 * cancel4 * cancel3 * cancel2 * cancel1) #

Deixando-nos com #10# como resultado.

A propósito, #0! = 1#. Para descobrir por que, confira este link.

Aplicações de fatoriais

O lugar onde os fatoriais são realmente úteis é a probabilidade. Por exemplo: quantas palavras você pode fazer com as letras? # ABCDE #, sem repetir nenhuma letra? (As palavras neste caso não têm que fazer sentido - você pode ter # AEDCB #, por exemplo).

Bem, você tem #5# escolhas para a sua primeira carta, #4# para a sua próxima carta (lembre-se - não há repetições; se você escolheu #UMA# para a sua primeira carta, você só pode escolher # BCDE # para o seu segundo), #3# para o próximo, #2# para aquele depois disso, e #1# para o último. As regras da probabilidade dizem que o número total de palavras é o produto das escolhas:

#underbrace (5) _ ("opções para primeira letra") * 4 * 3 * 2 * 1 #

E quatro é o número de escolhas para a segunda letra e assim por diante. Mas espere - nós reconhecemos isso, certo! Está #5!#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

Então existem #120# maneiras.

Você também verá os fatoriais sendo usados em permutações e combinações, que também tem a ver com probabilidade. O símbolo para permutações é #"_NPR#, e o símbolo para combinações é # "_ nC_r # (as pessoas usam # ((n), (r)) # para combinações na maior parte do tempo, porém, e você diz "n escolha r".) As fórmulas para elas são:

# "_ nP_r = (n!) / ((n-r)!) #

# "_ nC_r = (n!) / ((n-r)! r!) #

Ali vemos nosso amigo, o fatorial. Uma explicação de permutações e combinações tornaria esta resposta já longa ainda mais longa, então confira este link para permutações e este link para combinações.