Uma função pode ser contínua e não diferenciável em um determinado domínio?

Responda:

Sim.

Explicação:

Um dos exemplos mais notáveis disso é a função Weierstrass, descoberta por Karl Weierstrass, que ele definiu em seu artigo original como:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

Onde # 0 <a <1 #, # b # é um inteiro ímpar positivo e #ab> (3pi + 2) / 2 #

Esta é uma função muito pontiaguda que é contínua em toda parte na linha Real, mas diferenciável em nenhum lugar.

Responda:

Sim, se tiver um ponto "dobrado". Um exemplo é #f (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Explicação:

A função contínua praticamente significa desenhá-lo sem tirar o lápis do papel. Matematicamente, isso significa que para qualquer # x_0 # os valores de #f (x_0) # como eles são abordados com infinitamente pequena # dx # da esquerda e da direita deve ser igual:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

onde o sinal de menos significa aproximar-se da esquerda e sinal de mais significa se aproximar da direita.

Função diferenciável significa praticamente uma função que muda constantemente a sua inclinação (NÃO a uma taxa constante). Portanto, uma função que não é diferenciável em um determinado ponto significa que ela altera abruptamente sua inclinação da esquerda desse ponto para a direita.

Vamos ver duas funções.

#f (x) = x ^ 2 # a # x_0 = 2 #

Gráfico

graph {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Gráfico (zoom)

gráfico {x ^ 2 0,282, 3,7, 3,073, 4,783}

Já em # x_0 = 2 # o gráfico pode ser formado sem tirar o lápis do papel, a função é contínua nesse ponto. Como não é dobrado nesse ponto, também é diferenciável.

#g (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Gráfico

gráfico {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

No # x_0 = 0 # a função é contínua, pois pode ser desenhada sem tirar o lápis do papel. No entanto, como se dobra nesse ponto, a função não é diferenciável.