Por que o círculo unitário e as funções trigonométricas definidas nele são úteis, mesmo quando as hipotenusas dos triângulos no problema não são 1?

Funções trigonométricas nos dizem a relação entre ângulos e comprimentos laterais em triângulos retângulos. A razão pela qual eles são úteis tem a ver com as propriedades de triângulos semelhantes.

Triângulos semelhantes são triângulos que possuem as mesmas medidas de ângulo. Como resultado, as proporções entre lados semelhantes de dois triângulos são as mesmas para cada lado. Na imagem abaixo, essa relação é #2#.

O círculo unitário nos dá relações entre os comprimentos dos lados dos diferentes triângulos retângulos e seus ângulos. Todos esses triângulos têm uma hipotenusa de #1#, o raio do círculo unitário. Seus valores de seno e cosseno são os comprimentos das pernas desses triângulos.

Vamos supor que temos um # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # triângulo e sabemos que o comprimento da hipotenusa é #2#. Nós podemos encontrar um # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # triângulo no círculo unitário. Como a hipotenusa do nosso novo triângulo é #2#sabemos que a proporção dos lados é igual à razão dos hipotenus.

# r = (hipotensao) / 1 = 2/1 = 2 #

Então, para resolver os outros lados do triângulo, nós só precisamos multiplicar #sin (30 ^ o) # e #cos (30 ^ o) # por # r #, qual é #2#.

# 2sin (30 ^ o) = 2 (1/2) = 1 #

# 2cos (30 ^ o) = 2 (sqrt (3) / 2) = sqrt (3) #

Você pode resolver qualquer triângulo retângulo que você conhece pelo menos um lado, encontrando um triângulo similar no círculo unitário, e então multiplicando #sin (theta) # e #cos (theta) # pela relação de escala.