Como você avalia a integral definida int sin2theta de [0, pi / 6]?

Responda:

# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Explicação:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

deixei

#color (vermelho) (u = 2theta) #

#color (vermelho) (du = 2d teta) #

#color (vermelho) (d theta = (du) / 2) #

Os limites são alterados para #color (azul) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = int_color (azul) 0 ^ cor (azul) (pi / 3) sincolor (vermelho) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Como sabemos o# intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

assim sendo,# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Como você avalia a integral definida int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx de [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 A partir do dado, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Começamos por simplificar primeiro o integrando int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln

Como você avalia a integral definida int (2t-1) ^ 2 de [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Deixe u = 2t-1 implica du = 2dt portanto dt = (du) / 2 Transformando os limites: t: 0rarr1 implica em u: -1rarr1 Integral se torna: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Como você avalia a integral definida int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de [0, pi / 4]?

Pi / 4 Observe que a partir da segunda identidade pitagórica que 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Isso significa que a fração é igual a 1 e isso nos deixa a integral bastante simples de int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4