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Confira abaixo a resposta
Explicação:
Para # x = 0 # temos
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Nós consideramos uma nova função #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ##em## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ##em## RR #
Como um resultado # g # está aumentando em # RR #. Assim porque está estritamente aumentando # g # é "#1-1#" (um a um)
Assim, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Precisamos mostrar que # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # é contínuo em # 0, x #
- # f # é diferenciável em # (0, x) #
De acordo com o teorema do valor médio existe # x_0 ##em## (0, x) #
para qual #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ##em## RR # assim
diferenciando ambas as partes, obtemos
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
A função # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # é diferenciável. Como um resultado # f '# é diferenciável e # f # é 2 vezes diferenciável com
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ##em## RR #
-> # f '# está estritamente aumentando em # RR # que significa
# x_0 ##em## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
