Pergunta # 35a7e

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Como mencionado nos comentários abaixo, esta é a série MacLaurin para #f (x) = cos (x) #, e sabemos que isso converge para # (- oo, oo) #. No entanto, se você quiser ver o processo:

Explicação:

Como temos um fatorial no denominador, usamos o teste de razão, pois isso simplifica um pouco as simplificações. Esta fórmula é:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Se isso for <1, sua série converge

Se esta for> 1, a sua série diverge

Se isto é = 1, seu teste é inconclusivo

Então, vamos fazer isso:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nota: Tenha muito cuidado com a forma como liga o seu (k + 1). 2k irá se transformar em 2 (k + 1), NÃO 2k + 1.

Eu multipliquei pelo recíproco de # x ^ (2k) / ((2k)!) # em vez de dividir apenas para facilitar um pouco o trabalho.

Agora vamos álgebra. Devido ao valor absoluto, nossos termos alternados (ou seja, # (- 1) ^ k #) vão cancelar, pois sempre teremos uma resposta positiva:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nós podemos cancelar nosso # x ^ (2k) #'s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Agora precisamos cancelar os fatoriais.

Lembre-se de que # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Além disso, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Aviso prévio:

# (2k)! = cor (vermelho) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * cor (vermelho) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Como você pode ver, nós # (2k)! # é essencialmente uma parte de # (2k + 2)! #. Podemos usar isso para cancelar todos os termos comuns:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Cancelar (cor (vermelho) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * cancelar (cor (vermelho) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Isso deixa

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Agora podemos avaliar esse limite. Note que, como não estamos tomando esse limite em relação a # x #podemos fatorar:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Então, como você pode ver, esse limite = 0, que é menor que 1. Agora, nos perguntamos: existe algum valor de # x # para qual este limite seria 1? E a resposta é não, já que qualquer coisa multiplicada por 0 é 0.

Então, desde #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # para todos os valores de # x #, podemos dizer que tem um intervalo de convergência de # (- oo, oo) #.

Espero que tenha ajudado:)